Radon测度是分析中最重要、最通用的一类测度

2025-11-08 13:34:48

Lebesgue测度与局部Hausdoff空间

一、Lebesgue测度的定义背景

Lebesgue测度（Lebesgue measure） 是定义在欧几里得空间 \(\mathbb{R}^n\) 上的一种测度。其特点包括：

它是一个 完备的、外正则、内可测的 Borel 测度；

满足 平移不变性（translation invariance）；

满足 \(\mu([0,1]^n) = 1\)。

Lebesgue测度最常被认为是 \(\mathbb{R}^n\) 上的标准测度。

二、局部紧Hausdorff空间（locally compact Hausdorff space）

一个拓扑空间是 局部紧 且 Hausdorff 的话，我们可以在这个空间上定义所谓的 Radon测度，也就是说：

对于任意紧集 \(K\)，测度是有限的；

外正则性：对任意集合，用开集外逼；

内正则性：对任意可测集合，用紧集内逼。

在这样的空间上，可以 构造测度，但这类测度 不一定是 Lebesgue测度，除非这个空间就是 \(\mathbb{R}^n\)。

Lebesgue测度是定义在 \(\mathbb{R}^n\) 上的一个标准测度，而 \(\mathbb{R}^n\) 是一个局部紧Hausdorff空间。因此，Lebesgue测度是一个局部紧Hausdorff空间上可以定义的Radon测度的一种特殊情形。

Radon 测度

好的，我们来系统地讲一讲 Radon测度（Radon measure）。这在现代分析、泛函分析和测度论中非常重要，特别是在处理一般拓扑空间上的测度时。

一、Radon测度的定义

定义背景：

Radon测度的定义是为了推广像Lebesgue测度这样的好测度到更一般的空间，比如局部紧Hausdorff空间（locally compact Hausdorff space）。

标准定义（在局部紧Hausdorff空间 \(X\) 上）：

一个 Radon测度 \(\mu\) 是一个 Borel测度，满足以下三个性质：

局部有限（locally finite）

对任意 \(x \in X\)，存在一个开邻域 \(U\ni x\)，使得 \(\mu(U) < \infty\)。

外正则性（outer regularity）

对任意 Borel 集 \(A \subset X\)，

\[\mu(A) = \inf\{\mu(U) : A \subset U,\, U\text{ 是开集}\}

\]

内正则性（inner regularity）

对任意 有限测度的Borel集 \(A\)，

\[\mu(A) = \sup\{\mu(K) : K \subset A,\, K\text{ 是紧集}\}

\]

如果你更熟悉勒贝格测度，其实这些性质你都见过——勒贝格测度也是一个Radon测度。

二、为什么要引入Radon测度？

Lebesgue测度定义得很好，但它只能在 \(\mathbb{R}^n\) 这类空间中使用。在更一般的拓扑空间（比如光滑流形、度量空间、函数空间）中，我们仍然想有“好”的测度，所以我们引入了Radon测度的概念：

可以推广积分概念；

可以构造泛函分析中的正则Borel测度；

对应于线性泛函（见Riesz-Markov表示定理）。

三、重要定理：Riesz-Markov 表示定理

这个定理建立了 Radon测度 和 连续函数空间之间的联系。

定理（Riesz-Markov）：

设 \(X\) 是局部紧Hausdorff空间，\(\mu\) 是一个正的Radon测度。

则对于连续函数 \(f \in C_c(X)\)（有紧支集的连续函数），有

\[L(f) = \int_X f\,d\mu

\]

定义了一个正的线性泛函 \(L\colon C_c(X) \to \mathbb{R}\)。

反过来，每个这样的线性泛函都对应一个唯一的Radon测度。

四、Lebesgue测度是Radon测度吗？

是的，Lebesgue测度是Radon测度的一个典型例子。它在 \(\mathbb{R}^n\) 上满足：

\(\mathbb{R}^n\) 是局部紧Hausdorff；

Lebesgue测度是局部有限的；

满足外正则性和内正则性；

它是完备的、平移不变的。

五、总结

Radon测度 = 在局部紧Hausdorff空间上，具有良好正则性的Borel测度。

它：

是Lebesgue测度的推广；

在泛函分析、概率论、几何测度论中广泛使用；

允许我们在一般空间中做“积分”。

Haar测度

好的，我们现在来系统地介绍一下 Haar测度（Haar measure）。这是在拓扑群上定义的测度，是群论、调和分析、概率、表示论等领域的基础工具。

一、背景：拓扑群（Topological group）

首先，Haar测度定义在 拓扑群 上。

一个 拓扑群 是一个同时具有群结构和拓扑结构的集合，满足：

群运算 $ (x, y) \mapsto xy $ 是连续的；

取逆 $ x \mapsto x^{-1} $ 是连续的；

通常假设是Hausdorff空间；

最重要的特例是：\(\mathbb{R}^n\)、\(\mathbb{T}^n\)、矩阵群、李群等。

二、Haar测度的定义

Haar测度 是一种在拓扑群上定义的、平移不变的测度。

设 \(G\) 是一个局部紧的Hausdorff拓扑群（locally compact Hausdorff topological group），则存在一个在 \(G\) 上定义的 非零Radon测度 \(\mu\)，满足：

左不变性（Left invariance）：

对所有可测集 \(A \subset G\)，所有 \(g \in G\)，有

\[\mu(gA) = \mu(A)

\]

即 左平移不改变测度。

这样的测度称为 左Haar测度。

如果我们改成

\[\mu(Ag) = \mu(A)

\]

就是 右Haar测度。

对于阿贝尔群（如 \(\mathbb{R}^n\)）来说，左、右Haar测度一致。

对于非阿贝尔群，它们可能不同。

三、存在唯一性定理

Haar测度存在唯一性定理：

存在性：在每个局部紧Hausdorff拓扑群上，都存在至少一个非零的左Haar测度。

唯一性（在常数倍意义下）：若 \(\mu\)、\(\nu\) 都是左Haar测度，则存在常数 \(c > 0\)，使得 \(\mu = c\nu\)。

四、常见例子

实数群 \((\mathbb{R}, +)\)

Haar测度就是普通的 Lebesgue 测度。

单位圆群 \(\mathbb{T} = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}\)

Haar测度是标准角度测度（如从 \(0\) 到 \(2\pi\) 均匀分布）。

离散群（如整数 \(\mathbb{Z}\)）

Haar测度是计数测度（每个点的测度为 1）。

紧群（如 \(SO(3)\)、\(U(n)\)）

存在唯一的正规化Haar测度（令总测度为 1）——用于定义均匀分布在群上的随机变量。

五、Haar测度的重要性

1. 群上的积分

Haar测度允许我们在拓扑群 \(G\) 上定义积分：

\[\int_G f(x)\, d\mu(x)

\]

并且这个积分在平移下不变，适合处理对称性问题。

2. 表示论

在研究群的表示时，Haar测度允许我们定义单位表示空间中的内积，比如：

\[\langle f, g \rangle = \int_G f(x)\overline{g(x)}\,d\mu(x)

\]

3. 概率论

在群上定义均匀分布的随机变量，比如 SO(3) 上的随机旋转，正是通过Haar测度实现的。

4. 卷积与傅里叶分析

定义函数的卷积和群上的傅里叶变换都需要Haar测度的支持。

六、总结

特性

Haar测度

适用空间

局部紧Hausdorff拓扑群

性质

平移不变（左或右）

类型

Radon测度

存在性

总是存在

唯一性

在常数倍意义下唯一

用途

群上积分、概率分布、表示论、调和分析等

如果你想，我可以补充 Haar测度在某个具体群（如矩阵群、李群）上的表达形式，或者讲讲它和Fubini定理、Plancherel定理之间的联系。你有兴趣深入哪个方向？

Haar测度是一种Radon测度

是的，Haar测度是一种Radon测度，这个说法是完全正确的。我们来详细解释为什么。

一、回顾定义

先来回顾两个测度的定义：

Haar测度：

定义在局部紧Hausdorff拓扑群 \(G\) 上的测度 \(\mu\)，满足：

是一个 非零测度；

对任意可测集 \(A\subset G\)，对任意 \(g\in G\)，有左平移不变性：

\[\mu(gA) = \mu(A)

\]

是一个 Borel测度。

Radon测度：

定义在局部紧Hausdorff空间上的 Borel测度，满足：

局部有限性：每个点都有有限测度的邻域；

外正则性：用开集逼近可测集；

内正则性：用紧集逼近有界可测集。

二、Haar测度满足Radon测度的条件吗？

是的，Haar测度完全满足 Radon测度的定义。理由如下：

拓扑群 \(G\) 是局部紧Hausdorff空间 —— 这是 Haar测度定义所要求的前提。

Haar测度是局部有限的 —— 这是 Haar测度存在定理中的结论之一。

Haar测度是内正则和外正则的 —— Haar测度是一个 Radon测度，这一点在标准教材中都会说明。

三、教材与权威来源怎么说？

在经典教材中都有明确说明：

Rudin, Fourier Analysis on Groups 中指出：

Haar测度不仅存在且唯一（达常数倍），而且是一个 Radon测度。

Folland, A Course in Abstract Harmonic Analysis 也清楚指出：

Haar测度是一个正的、左不变的、Radon测度。

四、总结

结论：

\[\boxed{\text{Haar测度 是 Radon测度的一种特殊类型}}

\]

它不仅具有 Radon测度的一般性质（局部有限、内外正则），

而且还附加了 平移不变性（群结构上的对称性）。

如果你感兴趣，我可以进一步说明 Haar测度在具体群上的表达形式，例如：

在 \(\mathbb{R}^n\) 上，Haar测度就是 Lebesgue测度；

在紧群上如何正规化 Haar测度；

在 \(GL(n,\mathbb{R})\)、\(SO(n)\) 等群上 Haar测度的构造。

你想看哪个？

最宽松的测度

这是一个非常好的问题，回答它需要结合一般测度论的层次结构来说明。我们从不同角度来看：

一、什么叫“最普遍”的测度？

你问的“最普遍”，可以有几种理解：

理解方式

问题的含义

1. 最一般的定义？

Radon测度是不是定义得最宽松的测度？

2. 覆盖范围最广？

Radon测度是否能描述最多种类的空间或函数？

3. 实用性最强？

Radon测度是否在数学分析中最常用？

我们逐个来分析。

二、与其他测度类型的比较

测度类型

空间要求

测度性质

应用场景

一般外测度

任意集合

仅满足外测度公理

Lebesgue构造的起点

Borel测度

拓扑空间

只定义在Borel集上

初级拓扑测度

Radon测度

局部紧Hausdorff空间

局部有限 + 内外正则

分析、概率、泛函分析

Haar测度

拓扑群

Radon测度 + 平移不变性

群表示、调和分析

完整测度（如Lebesgue测度）

\(\mathbb{R}^n\) 等

可测集包含所有零测集

实变函数论、积分论

结论：

Radon测度不是最宽松的测度（general outer measure 更宽松）；

但在良好拓扑空间上，它是“最合适”的一种测度；

它是广泛使用的“标准测度类型”之一，特别适合定义积分、泛函、概率等。

三、Radon测度的“普遍性”优点

在局部紧Hausdorff空间上，Radon测度具有许多非常好的性质：

Radon测度 = 可在一般拓扑空间中定义积分的理想工具；

它可以和连续函数空间（例如 \(C_c(X)\)）产生双对偶关系（见Riesz表示定理）；

很多自然的测度（Lebesgue、Dirac、Haar等）都是Radon测度；

泛函分析、调和分析、概率论、几何测度论中大量理论建立在Radon测度基础上；

它在非欧几里得空间、流形、函数空间中都可以使用。

四、结论

Radon测度不是所有测度中最“宽泛”的，但它是：

\[\boxed{

\text{在局部紧Hausdorff空间上，最自然、最常用、最“好”的测度类型}

}

\]

因此，我们可以说：

“Radon测度是分析中最重要、最通用的一类测度。”

但如果你讨论的是集合论中的极端外测度或不良测度，它们的定义可能更宽泛，但通常没什么实用性，也不具有正则性。

外测度 μ*

↓

卡拉泰奥多里构造可测空间

↓

一般测度空间 (μ on Σ)

↓

Borel测度

↙ ↘

完备测度 Radon测度

↘ ↙

Lebesgue测度（同时是Radon + 完备）